1、什么叫實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)定義如下：

實(shí)數(shù)，是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱。數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)定義為與數(shù)軸上的實(shí)數(shù)，點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)。實(shí)數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。但僅僅以列舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的整體。

實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n為正整數(shù)）。

實(shí)數(shù)的基本定理：

1、上（下）確界原理：非空有上（下）界數(shù)集必有上（下）確界。

2、單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。具體來(lái)說(shuō)：?jiǎn)握{(diào)增（減）有上（下）界數(shù)列必收斂。

3、閉區(qū)間套定理（柯西-康托爾定理）：對(duì)于任何閉區(qū)間套，必存在屬于所有閉區(qū)間的公共點(diǎn)。若區(qū)間長(zhǎng)度趨于零，則該點(diǎn)是唯一公共點(diǎn)。

4、有限覆蓋定理（博雷爾-勒貝格定理，海涅-波雷爾定理）：閉區(qū)間上的任意開(kāi)覆蓋，必有有限子覆蓋?；蛘哒f(shuō)：閉區(qū)間上的任意一個(gè)開(kāi)覆蓋，必可從中取出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋這個(gè)閉區(qū)間。

5、極限點(diǎn)定理（波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、聚點(diǎn)定理）：有界無(wú)限點(diǎn)集必有聚點(diǎn)?；蛘哒f(shuō)：每個(gè)無(wú)窮有界集至少有一個(gè)極限點(diǎn)。

6、有界閉區(qū)間的序列緊性（致密性定理）：有界數(shù)列必有收斂子列。

7、完備性（柯西收斂準(zhǔn)則）：數(shù)列收斂的充要條件是其為柯西列?；蛘哒f(shuō)：柯西列必收斂，收斂數(shù)列必為柯西列。

2、什么是實(shí)數(shù)？

實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和小數(shù)，整數(shù)分為負(fù)整數(shù)、零、正整數(shù)，自然數(shù)包括零和正整數(shù)。

在自然數(shù)中，零表示一個(gè)物體也沒(méi)有，引入負(fù)數(shù)后，我們知道零是正、負(fù)數(shù)的界限，表示“基準(zhǔn)”的數(shù)，是一個(gè)實(shí)際存在的數(shù)量，從這個(gè)角度講，有理數(shù)還可以分成正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)。

有理數(shù)名字的由來(lái)

“有理數(shù)” 這一名稱不免叫人費(fèi)解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。

中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同）。

所以這個(gè)詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒(méi)有道理。

來(lái)源：百度百科-自然數(shù)

來(lái)源：百度百科-整數(shù)

來(lái)源：百度百科-實(shí)數(shù)

來(lái)源：百度百科-有理數(shù)

3、實(shí)數(shù)指的是什么？小數(shù)嗎？

實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和零三類。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而整數(shù)可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)可以分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。無(wú)理數(shù)可以分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)。實(shí)數(shù)集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對(duì)象。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n 為正整數(shù)，包括整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示。在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

1）相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，它們的和為零，我們就說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，叫做互為相反數(shù)） 實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，a和-a在數(shù)軸上到原點(diǎn)0的距離相等。

2）絕對(duì)值（在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)a與原點(diǎn)0的距離） 實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是：|a|

①a為正數(shù)時(shí)，|a|=a（不變），a是它本身；

②a為0時(shí)， |a|=0，a也是它本身；

③a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|= -a（為a的絕對(duì)值），-a是a的相反數(shù)。

(任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于0，因?yàn)榫嚯x沒(méi)有負(fù)數(shù)。)

3）倒數(shù)（兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)） 實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a≠0）

4）數(shù)軸

定義：如果畫一條直線，規(guī)定向右的方向?yàn)橹本€的正方向，在其上取原點(diǎn)0及單位長(zhǎng)度0E，它就成為數(shù)直線，或稱數(shù)軸。

（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

4、什么是實(shí)數(shù)？舉例，易懂的說(shuō)明、好評(píng)

實(shí)數(shù)

編輯

包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。其中無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)。本來(lái)實(shí)數(shù)僅稱作數(shù)，后來(lái)引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實(shí)數(shù)”——意義是“實(shí)在的數(shù)”。（任何實(shí)數(shù)都可在數(shù)軸上表示。）

目錄

1基本概念

2分類

3歷史發(fā)展

4相關(guān)定義

5相關(guān)性質(zhì)

基本運(yùn)算

四則運(yùn)算封閉性

有序性

傳遞性

阿基米德性

稠密性

唯一性

完備性

高級(jí)性質(zhì)

拓?fù)湫再|(zhì)

6擴(kuò)展與一般化

1基本概念

實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和零三類。實(shí)數(shù)集合通常用字母 R 表示。而R^n表示 n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)理論的核心研究對(duì)象。

實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n為正整數(shù)，包括整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示。

1）相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，它們的和為零，我們就說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)） 實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，a和-a在數(shù)軸上到原點(diǎn)0的距離相等。）

2）絕對(duì)值（在數(shù)軸上另一個(gè)數(shù)與a到原點(diǎn)0的距離分別相等） 實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是：|a|

①a為正數(shù)時(shí)，|a|=a（不變）

②a為0時(shí)， |a|=0

③a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|=-a（為a的相反數(shù)）

(任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于0，因?yàn)榫嚯x沒(méi)有負(fù)的。)

3）倒數(shù)（兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)） 實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a≠0）

4）數(shù)軸（任何實(shí)數(shù)都可在數(shù)軸上表示。）

定義：如果畫一條直線，規(guī)定向右的方向?yàn)橹本€的正方向，在其上取原點(diǎn)O及單位長(zhǎng)度OE，它就成為數(shù)軸線，或稱數(shù)軸。

（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。[1]

5）平方根（某個(gè)自乘結(jié)果等于的實(shí)數(shù)，表示為〔√￣〕，其中屬于非負(fù)實(shí)數(shù)的平方根稱算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0只有一個(gè)平方根，就是0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。）

6）立方根（如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3個(gè)x連續(xù)相乘等于a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（cube root），也叫做三次方根）

2分類

按性質(zhì)分類是：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0；

按定義分類是：有理數(shù)、無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)的分類 可以分為整數(shù),分?jǐn)?shù)

整數(shù)又可分為正整數(shù),0,負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)又可分為正分?jǐn)?shù),負(fù)分?jǐn)?shù) 2)可以分為正數(shù),0,負(fù)數(shù)

正數(shù)又可分為正整數(shù),正分?jǐn)?shù)

負(fù)數(shù)又可分為負(fù)整數(shù),負(fù)分?jǐn)?shù)

3歷史發(fā)展

埃及人早在大約公元前1000年就開(kāi)始運(yùn)用分?jǐn)?shù)了。在公元前500年左右，以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們意識(shí)到了無(wú)理數(shù)存在的必要性。印度人于公元600年左右發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)，據(jù)說(shuō)中國(guó)也曾發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)，但稍晚于印度。

實(shí)數(shù)相關(guān)資料(16張)

直到17世紀(jì)，實(shí)數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì)，微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)。直到1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。其中無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù)。數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)。本來(lái)實(shí)數(shù)僅稱作數(shù)，后來(lái)引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實(shí)數(shù)”——意義是“實(shí)在的數(shù)”。

到了19世紀(jì)70年代，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯(1815-1897 )、康托爾(1845-1918 )和法國(guó)的柯西(1789-1857 )及戴德金(1831-1916) 等都對(duì)實(shí)數(shù)理論進(jìn)行了研究，獲得了幾種形異而實(shí)同的實(shí)數(shù)理論，其中以戴德金分割法 1872 ；康托爾的有理數(shù)「基本序列」法 1872 為最有代表性。上述兩法與外爾斯特拉斯的實(shí)數(shù)理論合稱實(shí)數(shù)理論的三大派。

4相關(guān)定義

從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)可以用通過(guò)收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開(kāi)如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來(lái)。這里給出其中一種，其他方法請(qǐng)?jiān)斠?jiàn)實(shí)數(shù)的構(gòu)造。

公理的方法

設(shè) R 是所有實(shí)數(shù)的集合，則：

集合 R 是一個(gè)域： 可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見(jiàn)性質(zhì)。

域 R 是個(gè)有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對(duì)所有實(shí)數(shù) x, y 和 z：

若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z；

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有非空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。

最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5；但是不存在實(shí)數(shù)上界（因?yàn)?/p>

不是有理數(shù)）。

實(shí)數(shù)通過(guò)上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說(shuō)，給定任意兩個(gè)有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。

5相關(guān)性質(zhì)

基本運(yùn)算

實(shí)數(shù)可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方等，對(duì)非負(fù)數(shù)（即正數(shù)和0）還可以進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算。實(shí)數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。任何實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)，只有非負(fù)實(shí)數(shù)，才能開(kāi)偶次方其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。

圖冊(cè)(4張)

四則運(yùn)算封閉性

實(shí)數(shù)集R對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運(yùn)算具有封閉性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是實(shí)數(shù)。

有序性

實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b必定滿足下列三個(gè)關(guān)系之一：ab.

傳遞性

實(shí)數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.

阿基米德性

實(shí)數(shù)具有阿基米德（Archimedes）性，即對(duì)任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.

稠密性

實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無(wú)理數(shù).

唯一性

如果在一條直線（通常為水平直線）上確定O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较颍ㄍǔ０阎赶蛴业姆较蛞?guī)定為正方向），并規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)與數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都唯一的表示一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

完備性

作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì)：

一.所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。

有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒(méi)有有理數(shù)極限。實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限 √2。實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。

極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里德幾何的直線沒(méi)有“空隙”。

二.“完備的有序域”

實(shí)數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒(méi)有有序域會(huì)是完備格。這是由于有序域沒(méi)有最大元素（對(duì)任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說(shuō)明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個(gè)完備性的意思非常接近采用戴德金分割來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方法建立戴德金完備性。

這兩個(gè)完備性的概念都忽略了域的結(jié)構(gòu)。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的

概念。上述完備性中所述的只是一個(gè)特例。（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關(guān)的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實(shí)數(shù)

的性質(zhì)。）當(dāng)然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實(shí)際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見(jiàn)?？梢宰C明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當(dāng)然反之亦然）。這個(gè)完備性的意思非常接近采用柯西序列來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方法建立一致完備性。

“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來(lái)的，他還想表達(dá)一些不同于上述的意思。他認(rèn)為，實(shí)數(shù)構(gòu)成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個(gè)完備性的意思非常接近用超實(shí)數(shù)來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從某個(gè)包含所有（超實(shí)數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

高級(jí)性質(zhì)

實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個(gè)數(shù)（盡管兩者都是無(wú)窮大）。這一點(diǎn)，可以通過(guò)康托爾對(duì)角線方法證明。實(shí)際上，實(shí)數(shù)集的勢(shì)為 2ω（請(qǐng)參見(jiàn)連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)），即自然數(shù)集的冪集的勢(shì)。由于實(shí)數(shù)集中只有可數(shù)集個(gè)數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)。實(shí)數(shù)集的子集中，不存在其勢(shì)嚴(yán)格大于自然數(shù)集的勢(shì)且嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集的勢(shì)的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。該假設(shè)不能被證明是否正確，這是因?yàn)樗图险摰墓聿幌嚓P(guān)。

所有非負(fù)實(shí)數(shù)的平方根屬于 R，但這對(duì)負(fù)數(shù)不成立。這表明 R 上的序是由其代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的。而且，所有奇數(shù)次多項(xiàng)式至少有一個(gè)根屬于 R。這兩個(gè)性質(zhì)使 R成為實(shí)封閉域的最主要的實(shí)例。證明這一點(diǎn)就是對(duì)代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

實(shí)數(shù)集擁有一個(gè)規(guī)范的測(cè)度，即勒貝格測(cè)度。

實(shí)數(shù)集的上確界公理用到了實(shí)數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只采用一階邏輯來(lái)刻畫實(shí)數(shù)集：1. L?wenheim-Skolem定理說(shuō)明，存在一個(gè)實(shí)數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實(shí)數(shù)集自身完全相同的命題；2. 超實(shí)數(shù)的集合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 R，但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標(biāo)準(zhǔn)模型。這就是非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究?jī)?nèi)容，在非標(biāo)準(zhǔn)模型中證明一階邏輯命題（可能比在 R 中證明要簡(jiǎn)單一些），從而確定這些命題在 R 中也成立。

拓?fù)湫再|(zhì)

實(shí)數(shù)集構(gòu)成一個(gè)度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對(duì)值 |x - y|。作為一個(gè)全序集，它也具有序拓?fù)?。這里，從度量和序關(guān)系得到的拓?fù)湎嗤?。?shí)數(shù)集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實(shí)數(shù)集不是緊致空間。這些可以通過(guò)特定的性質(zhì)來(lái)確定，例如，無(wú)限連續(xù)可分的序拓?fù)浔仨毢蛯?shí)數(shù)集同胚。以下是實(shí)數(shù)的拓?fù)湫再|(zhì)總覽：

令 a 為一實(shí)數(shù)。a 的鄰域是實(shí)數(shù)集中一個(gè)包括一段含有 a 的線段的子集。

R 是可分空間。

Q 在 R 中處處稠密。

R的開(kāi)集是開(kāi)區(qū)間的聯(lián)集。

R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點(diǎn)的有限線段都是緊子集。

每個(gè)R中的有界序列都有收斂子序列。

R是連通且單連通的。

R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質(zhì)可迅速導(dǎo)出中間值定理。

6擴(kuò)展與一般化

實(shí)數(shù)集可以在幾種不同的方面進(jìn)行擴(kuò)展和一般化：

最自然的擴(kuò)展可能就是復(fù)數(shù)了。復(fù)數(shù)集包含了所有多項(xiàng)式的根。但是，復(fù)數(shù)集不是一個(gè)有序域。

實(shí)數(shù)集擴(kuò)展的有序域是超實(shí)數(shù)的集合，包含無(wú)窮小和無(wú)窮大。它不是一個(gè)阿基米德域。

有時(shí)候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實(shí)數(shù)集，構(gòu)成擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸。它是一個(gè)緊致空間，而不是一個(gè)域，但它保留了許多實(shí)數(shù)的性質(zhì)。

正因如此，畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬(wàn)物皆數(shù)”的信念，這里的數(shù)是指自然數(shù)（1 , 2 , 3 ...），而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù)，而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實(shí)，對(duì)當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)可謂極大的打擊；見(jiàn)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

從古希臘一直到十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無(wú)理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù)；后來(lái)有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱作“實(shí)數(shù)”，意即“實(shí)在的數(shù)”。在當(dāng)時(shí)，盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個(gè)難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀(jì)末的戴德金、康托等人對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。[2]

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